Se establecerá, con argumentos geométricos, la equivalencia que existe entre un binomio al cuadrado y el trinomio cuadrado perfecto. Así pues vamos a lo que nos ocupa.
Se llama binomio, a la suma de dos cantidades, por ejemplo:
En esta lista se ponen de manifiesto dos cosas. La primera, que la resta se entiende como una suma, así pues, en el segundo ejemplo,
;
Y la segunda, que la palabra cantidad se está tomando en un sentido más amplio, así pues
,
son ejemplos de cantidades. Sin embargo para efectos de nuestro tema, basta tomar al binomio como en el último ejemplo de nuestra lista; esto es:
Más aún, en este caso, tanto "a" como "b" representan dos longitudes, tal y como muestra la siguiente figura.
Las líneas punteadas dividen al cuadrado en dos cuadrados de menor tamaño, más dos rectángulos. Para distinguirlos consideremos la siguiente figura.
Ahora bien, por un lado, obsérvese que la suma
es la longitud del cuadrado de mayor tamaño, lo que implica que su área viene dada por
Y por otro lado, la suma de las áreas de los cuadrados más pequeños y las áreas de los dos rectángulos, también debe ser equivalente con el área total; esto es:
Apoyándonos en la figura anterior, desglosemos cada uno de los términos de esta última expresión:
es el área del cuadrado de mayor tamaño.
es el área del cuadrado en color azul.
es el área del cuadrado en color rojo.
es la suma de las áreas de los rectángulos.
Finalmente, obsérvese que el último término,
,
es equivalente a
,
por lo que la ecuación puede escribirse como:
Se acostumbra a expresarla de la siguiente forma:
A la expresión del lado izquierdo de la igualdad le llamamos binomio al cuadrado, y la expresión del lado derecho, trinomio cuadrado perfecto. Es ésta una de las expresiones algebraicas más útiles en las matemáticas.