La Derivada de una función es uno de los tópicos más manejados en el llamado Análisis Infinitesimal, asignatura obligatoria en todos los estudios que se precien ser de Ciencias. En la enseñanza española el inicio al Análisis, y por ende a las Derivadas, se hace a la temprana edad de los 14-15 años, cosa que no ocurre en la mayoría de los países desarrollados, exceptuando los asiáticos. Y es que el Análisis Infinitesimal, como su propio nombre indica, es el estudio pormenorizado, microscópico, de lo que le ocurre a una función en las proximidades de un punto, y esto requiere una cierta madurez intelectual.
Se inicia el estudio de la Derivada de una función, con el concepto y aplicación de los Límites de funciones, que también requieren madurez en el pensamiento de los alumnos.
La derivada de una función en un punto no es más que la pendiente que tiene esa curva en ese punto de la gráfica. ¿Y qué es la pendiente de una curva en un punto? Pues simplemente la pendiente (inclinación) que tiene la recta tangente a la curva en ese punto.
Así, una recta horizontal, por ejemplo el eje de las X (eje de abscisas) tiene en todos sus puntos pendiente cero. Y a medida que vamos inclinando esa recta hacia el eje vertical(eje de ordenadas) por el primer cuadrante, la pendiente se va haciendo mayor. En la mitad de ese cuadrante, la pendiente de esa bisectriz es uno (45º).
Por tanto para hallar la pendiente de una curva (función) en un punto, trazamos una recta tangente en ese punto, y su pendiente será la de la curva en ese punto. Claro está, que este proceso gráfico es trabajoso y además impreciso.
Pues con las Derivadas de las funciones lo hacemos más rápido, fácil y preciso. La notación de la derivada de una función y = f(x) es y´(x), leído " y prima de x".
y´(x) = lim( f(x+h) - f(x))/ h cuando h tiende, se aproxima cada vez más, a cero.
Pero la aplicación de esta definición a funciones un tanto complejas, es muy larga y tediosa, induciendo a cometer algún error en el proceso de cálculo. Por ello se demuestran las llamadas Reglas de Derivación que facilitan la obtención de derivadas de manera rápida.
Las Reglas de dDivación nos facilitan el cálculo de ese límite.
Así: y = f(x) = un número y´(x) = 0
Es decir si tenemos una recta que es horizontal y = 3, y´(x) = 0 , es decir la pendiente en cualquier punto de esa recta es cero. Lógico pues es horizontal.
Y así podemos poner una tabla de reglas de derivación para cualquier tipo de función, previa demostración analítica.
Que quede, pues, bien claro que la Derivada de una función en un punto es la pendiente que tiene la recta tangente a esa función en ese punto.